De zon en zijn planeten

Tijdvereffening

Dit is hoofdstuk 1-7 van het boek "De Zon en zijn planeten" door Henk H. Otten.
(oktober 2000 - maart 2014 rev. 2.5)



Als we met regelmatige tussenpozen, b.v. om de dertig dagen, de tijd opnemen hoe laat de Zon zijn hoogste stand aan de zuidelijke hemel bereikt zouden we ontdekken dat het bijna nooit op hetzelfde tijdstip gebeurt. Slecht vier keer per jaar bereikt de Zon zijn hoogste stand om precies 12 uur alle andere keren eerder of later. De grootste verschillen treden op half februari, de Zon bereikt dan zijn hoogste stand pas 14 minuten na 12 uur en begin november wanneer de Zon reeds 16 minuten voor 12 uur zijn hoogste stand bereikt. Het tijdstip waarop de Zon zijn hoogste stand bereikt heet ware zonnetijd. De tijd die de klok aanwijst (gecorrigeerd voor zomer of wintertijd en de lengtegraad van de positie van de waarnemer op Aarde) heet middelbare zonnetijd. Het tijdverschil tussen deze beide tijden heet tijdvereffening.

17-1 Ontstaan van de tijdvereffening
Tijdvereffening is het verschil tussen de tijd die een zonnewijzer (ware zonnetijd) aanwijst en de tijd die een mechanische/elektronische klok (middelbare zonnetijd) aanwijst. Dit tijdverschil ontstaat:

a) doordat de Aarde niet in een cirkelvormige maar in een licht elliptische baan om de Zon draait. De elliptische baan om de Zon is de oorzaak dat de Aarde gedurende een deel van het jaar iets sneller en het anderen deel van het jaar iets langzamer om de Zon draait. Als gevolg daarvan beweegt de Zon in Januari iets sneller aan de hemel dan in Juli (tweede wet van Kepler.

b) een variatie ten gevolge van de schuine stand van de aardas ten opzichte van het baanvlak van de Aarde. Hierdoor loopt de projectie van de Zon op de hemelevenaar soms voor en soms achter op die van de mechanische/elektronische klok.

c) zei het in mindere mate, door de verstoring van de omloopbaan (ecliptica) van de Aarde door de Maan en de planeten. Deze invloed wordt buiten beschouwing gelaten.br

De dikke verticale lijn midden in figuur 17-1 geeft 12 uur middelbare tijd weer zoals een klok die aangeeft. De curve geeft het verschil, tijdvereffening, weer tussen de ware zonnetijd ten opzichte van 12 uur middelbare zonnetijd gedurende de loop van het jaar.

De tijdvereffening bereikt haar grootste negatieve waarde -14,25 rond 11 februari en haar grootste positieve waarde +16,42 minuten rond 3 november. Een tweede, zij het minder grote, negatieve en positieve waarde wordt bereik rond respectievelijk 26 juli -6,52 en 14 mei +3,68 minuten.

De vorm van de curve en daarmee ook de waarde van de tijdvereffening verandert in de loop der eeuwen. In 1246 waren de negatieve februari waarde en de positieve november waarde aan elkaar gelijk n.l.-15,65 en +15,65 minuten. Ook de kleinere juli en mei waarden waren gelijk aan elkaar n.l. -4,96 en +4,96 minuten.

In 2100 zullen de grote waarde respectievelijk -14,05 en +16,50 en de kleine waarde -6,73 en +3,53 minuten zijn.








17-2 Middelbare zonnetijd
In de praktijk is het tijdverschil tussen de etmalen erg lastig zo niet volstrekt onbruik- baar. Dit probleem werd opgelost door aan te nemen dat de Aarde wel met een con- stante snelheid om zijn as draait waardoor de etmalen even lang werden n.l. precies 24 uur. Deze theoretische tijd, de middelbare zonnetijd, is de tijd die een juist afge- stelde klok aanwijst. Over een heel jaar gezien zijn beide tijden van gelijke duur.

17-3 Ware zonnetijd
Als de Zon culmineert, dat is zijn hoogste stand aan de zuidelijke hemel heeft bereikt, is het astronomisch gezien precies 12 uur. De tijdsduur (etmaal) tussen twee opeenvolgende culminaties is als gevolg van het bovenstaande ongeveer 24 uur. De ware zonnetijd is de tijd die een juist opgestelde zonnewijzer aanwijst.

17-4 Plaatselijke zonnetijd
Plaatselijke zonnetijd is de middelbare zonnetijd gecorrigeerd met de lengtegraad van de waarnemingsplaats. De rotatie van de Aarde om zijn as van west naar oost veroorzaakt een verandering van tijd. Hoe meer men naar het oosten gaat hoe vroeger de tijd. Het vervroegen van de tijd bedraagt 4 minuten per graad. Op een plaats 1 graad ten oosten van de eigen plaats is het 4 minuten vroeger, bij zes graden ten oosten is het 6 x 4 = 24 minuten vroeger.

17-5 Formule van Yallop en Hohenkerk
Formule 17-1 gepubliceerd door B.D. Yallop en C.Y. Hohenkerk1) (1992) geeft met weinig rekenwerk zeer bevredigende resultaten.

de tijdvereffening (E) volgt uit:

E = -1.915 sin(M) - 0.020 sin(2M) + 2.466 sin(2λ) - 0.053 sin(4λ)

[17-1]

17-6 Formule van Smart Formule 17-2 gepubliceerd door W.M. Smart2) (1956) geeft, met wat meer rekenwerk, nauwkeuriger resultaten. de tijdvereffening (E) volgt uit: E = y sin(2L) - 2e sin(M) + 4e y sin(M) cos(2L) - 0,5y2 sin(4L) - 1,25e2 sin(2M) Waar M is de middelbare anomalie, L de middelbare lengtegraad en λ de elliptische lengtegraad van de Zon

M = 357,528 + 35999,05 T

L = 280,446 + 36000,77 T

λ = L + 1,915 sin(M) + 0,020 sin(2M)

T = Juliaanse eeuw (zie hoofdstuk 1-3 "Juliaans dagnummer systeem")

17-6 Formule van Smart
Formule 17-2 gepubliceerd door W.M. Smart2) (1956) geeft, met wat meer rekenwerk, nauwkeuriger resultaten.

de tijdvereffening (E) volgt uit:

E = y sin(2L) - 2e sin(M) + 4e y sin(M) cos(2L) - 0,5y2 sin(4L) - 1,25e2 sin(2M)

[17-2]

waar y = tan(ε0 / 2)2, M is de middelbare anomalie, L de middelbare lengtegraad, ε0 de middelbare helling van de ecliptica, e de excentriciteit van de omloopbaan en Tu het aantal millennia verstreken ten opzichte van 1 januari 2000

M = 357,52911 + 35999,05029 T - 0,0001537 T2

L = 280,4664567 + 36000,76982779 Tu + 0,3032028 Tu2 + Tu3 / 499310 - Tu4 /153000 - Tu5 / 20000000

ε0 = 23,439291111 - 46,815" T - 0,00059" T² + 0,001813" T³

e = 0,016708634 - 0,000042037 T - 0,0000001267 T²


17-7 Vergelijking van beide formules

Vergelijking van beide formules
Tabel 17-1
De resultaten van de formules 17-1 en 17-2, datum 1 januari 2010, 0 uur DT
Formule 17-2 geeft wat meer informatie als formule 17-1

Vergelijking van beide formules
Tabel 17-2
De waarden van de tijdvereffening zijn berekend met behulp van de formules 17-1 en 17-2 en zijn vergeleken met de waarden berekend met een referentie programma3). Als tijdstip voor de berekening is 16 April 0 uur UT1 gekozen van het jaar zoals vermeld in de tabel 17-2, een moment waarop de waarde van de tijdvereffening ongeveer nul moet zijn.



Vergelijking van beide formules
Tabel 17-3
Meeus2) schrijft: In de loop der eeuwen wordt de grote Februari dip en de grote Mei piek langzaam kleiner en de kleine Juli dip en de kleine November piek langzaan groter. In 1246 waren de Februari dip en de November piek gelijk aan elkaar en ook de Mei piek en de Juli dip waren gelijk. (Tabel 17-3)

Testprogramma: tijdver.exe versie 1.0 december 2010

Referenties
1)

Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac.
P. Kenneth Seidelmann, university sceince books, Sausalito, California, 1992
ISBN 0-935702-68-7

2)

Astronomical Algorithms.
Jean Meeus; 2de editie Maart 2000; Willmann-Bell
ISBN 0-943396-61-1 (blz. 185)

3)

Een online calculator van NOAA (Earth Systems Research Laboratory)
href="http://www.srrb.noaa.gov/highlights/sunrise/azel.html"



October 2002; Update: 02-aug.-2008; 10-dec.-2009; 05-juli 2013

B1-blz. 485 B1-blz. 484 B1-blz. 484 B1-blz. 484 B2-form-28.3 B2-form-25.3 B2-form-28.2 B2-form22.2 B2-form-25.4